Question

设函数f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx，（x∈R）
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若函数y=f（x）的图象按

b

=（

π

4

，

3

2

）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．
（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．

解答：解：（I）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos（x+π）cosx
=sinxcosx+

3

cosxcosx
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（II）∵函数y=f（x）的图象按

b

=（

π

4

，

3

2

）平移后得到的函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=sin（2x+

π

3

-

π

2

）+

3

2

+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

∵0＜x≤

π

4

∴-

π

6

＜2x-

π

6

≤

π

3

，
∴y=g（x）在（0，

π

4

]上的最大值为：

3 3

2

．

点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．