Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x≥

1

2

时，若关于x的不等式f(x)≥

3

2

x2-3x+a恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用导数作为工具是解决本题的关键．
（1）利用导数与切线斜率之间的关系是写切线方程的前提，用直线方程的点斜式写出方程；
（2）将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，用好分离变量的思想．

解答：解：（1）f'（x）=e^x+4x-3，
则f'（1）=e+1，又f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-e+1=（e+1）（x-1），即y=（e+1）x-2．
（2）由f(x)≥

3

2

x2+-3x+a，
得a≤ex+

1

2

x2，
令g(x)=ex+

1

2

x2，则g'（x）=e^x+x
∵x≥

1

2

，g'（x）=e^x+x＞0，故g（x）在x∈[

1

2

，+∞)上单调递增，
∴a≤g(x)min=g(

1

2

)=

e

+

1

8

．

点评：本题考查导数的工具作用，利用函数在某点处切线的斜率就是在该点处的导数值，写出所求切线的斜率，进而利用点斜式写出直线的方程，注意恒成立问题中的分离变量思想，将恒成立问题转化为函数的最值问题．