Question

直线l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知=（ax₁，by₁），=（ax₂，by₂），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆经过点，建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得方程，从而可求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用=0，A在椭圆上，可求△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得△AOB的面积是定值．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，∴…2分
∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为…3分
（Ⅱ）依题意，设l的方程为
由，∴
显然△＞0，…5分
由已知=0得：==
解得…6分．
（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵=0，∴，
∵A在椭圆上，∴，∴，|y₁|=
∴S==1；
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，x₁+x₂=，x₁x₂=
∵=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0
∴2t²-k²=4
∴==1
综上，△AOB的面积是定值1．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．