Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，左焦点为F，右顶点为C，过F作直线l与椭圆交于A，B两点，求△ABC面积最大值．

Answer 1

分析：先根据标准方程求出焦点F与顶点C的坐标，设直线的方程为x=my-1，将x=my-1代入椭圆方程，再由韦达定理构造△ABO的面积关于m的函数，利用函数求最值的方法可求得最大值．

解答：解：由题意知：|FC|=a+c=2+1=3，F（-1，0），
设AB的直线方程x=my-1，不妨设直线AB与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

x=my-1 x2 4 + y2 3 =1

⇒（3m²+4）y²-6my-9=0，则y₁+y₂=

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

，
S_△ABC=

1

2

×|FC|×|y₁-y₂|=

1

2

×3×

(y1+y2)2-4y1y2

=18×

m2+1 (3m2+4)2

=18×

1 9(m2+1)+6+ 1 m2+1

，
设t=m²+1≥1，函数g（t）=9t+

1

t

，g′(t)=9-

1

t2

，∵t≥1，g′（t）＞0
∴函数在[1，+∞）单调递增，
∴m²+1=1时，S_△ABC最大，且最大值为

9

2

点评：本题考查椭圆的简单性质、考查直线与椭圆相交关系，考查韦达定理的应用及运用函数思想求最值，本题对学生的运算能力有较高要求，对解析式的变形是关键．