Question

已知函数f（x）=2alnx-x+

1

x

，a≠0，g（x）=-x²-x+2

2

b．
（1）若函数f（x）在定义域上有极值，求实数a的取值范围？
（2）当a=

2

时，对?x₀∈[1，e]，总存在t∈[1，e]使f（x₀）＜g（t）成立，求实数b的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意，f（x）=2alnx-x+

1

x

的定义域为（0，+∞）；f′（x）=

2a

x

-1-

1

x2

=

-x2+2ax-1

x2

；函数f（x）在定义域上有极值化为导数有正有负，故讨论a即可，从而求a；
（2）当a=

2

时，f′（x）=

-(x- 2 )2+1

x2

；从而求出f_max（x）=f（

2

+1）=2

2

ln（

2

+1）-2；从而可得总存在t∈[1，e]使2

2

ln（

2

+1）-2＜g（t）成立；再求g_max（t）=g（1）=-2+2

2

b；从而可得2

2

ln（

2

+1）-2＜-2+2

2

b；从而解得．

解答： 解：（1）f（x）=2alnx-x+

1

x

的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=

2a

x

-1-

1

x2

=

-x2+2ax-1

x2

；
①当a＜0时，f′（x）＜0；
故f（x）在定义域上为减函数，故无极值；
当a＞0时，
若函数f（x）在定义域上有极值，
则

- 2a -1 ＞0 -a2+2a2-1＞0 -1＜0

解得a＞1；
故实数a的取值范围为（1，+∞）；
（2）当a=

2

时，f′（x）=

-(x- 2 )2+1

x2

；
故f（x）在[1，

2

+1]上是增函数，在[

2

+1，e]上是减函数；
故f_max（x）=f（

2

+1）=2

2

ln（

2

+1）-2；
则对?x₀∈[1，e]，总存在t∈[1，e]使f（x₀）＜g（t）成立可化为
总存在t∈[1，e]使2

2

ln（

2

+1）-2＜g（t）成立；
又∵g（x）=-x²-x+2

2

b在[1，e]上是减函数，
故g_max（t）=g（1）=-2+2

2

b；
故2

2

ln（

2

+1）-2＜-2+2

2

b；
故b＞ln（

2

+1）．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及存在性问题的处理方法，属于中档题．