Question

【题目】已知为坐标原点，为坐标平面内动点，且成等差数列.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，过点作直线交于两点(不与原点重合)，是否存在轴上一定点，使得_________.若存在，求出定点，若不存在，说明理由.从“①作点关于轴的对称点，则三点共线；②”这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答(注:如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分)

Answer 1

【答案】（1）；（2）两种选择都存在 满足条件.

【解析】

（1）设，，，由已知得关于，的关系式，整理即可求得点的轨迹方程；

（2）当选①时，设，与联立，得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，横坐标的和与积，写出直线的方程，由直线系方程可得，直线过定点，说明结论成立；

当选②时，假设存在满足条件②，设，与联立，得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，横坐标的和与积，由求得，说明存在满足条件．

解：（1）设，，，

则，，

由2，，成等差数列，得，即，

即，化简得，

点的轨迹方程为；

（2）当选①时，设，与联立，得，

设，，，，则，，

，，

，

，化简得，

存在满足条件．

当选②时，假设存在满足条件②，

设，与联立，得，

设，，，，则，，

，，

，

，即，

存在满足条件．