题目内容
19．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，$\frac{{2S}_{n}}{n}$=an+1-$\frac{1}{3}$n2-n-$\frac{2}{3}$，n∈N*．（I）求证：{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{cn}的前n项和为Tn，cn=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{{2}^{n-1}}$，是否存在实数λ，对于任意n∈N*．使Tn＞（-1）nλ恒成立？若存在，求出λ范围；若不存在，请说明理由．
分析 （I）利用递推关系与等差数列的定义即可证明；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 （I）证明：∵$\frac{{2S}_{n}}{n}$=an+1-$\frac{1}{3}$n2-n-$\frac{2}{3}$，n∈N*，即2Sn=nan+1-$\frac{1}{3}{n}^{3}$-n2-$\frac{2}{3}n$，
当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an-$\frac{1}{3}（n-1）^{3}$-（n-1）2-$\frac{2}{3}$（n-1），
可得：2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1），
化为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列，首项为1，公差为1，
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，解得an=n2．
（II）解：cn=$\frac{\sqrt{{a}_{n}}-2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
∴数列{cn}的前n项和为Tn=-1+0+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$-\frac{1}{2}$+0+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=-1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴Tn=-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
假设存在实数λ，对于任意n∈N*．使Tn＞（-1）nλ恒成立，
则-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$＞（-1）nλ，
n为偶数时，λ＜-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
n为奇数时，$λ＞\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
因此不成立，即不存在实数λ，对于任意n∈N*．使Tn＞（-1）nλ恒成立．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的定义及其通项公式、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、分类讨论方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
ABC考王全优卷系列答案
四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，F，E分别为AD、PC的中点．