Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且sin2A+2sinCcosB=sin（C-B）．
（1）求A；
（2）若3sinB=4sinC，S_△ABC=3$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：2sinAcosA=-sinA，由于sinA≠0，解得cosA=-$\frac{1}{2}$，从而可求A的值．
（2）由正弦定理化简已知等式可得3b=4c，利用三角形面积公式结合已知可解得bc=12，联立可解得b，c的值，利用余弦定理即可求得a的值．

解答 解：（1）∵sin2A+2sinCcosB=sin（C-B），
∴2sinAcosA+2sinCcosB=sinCcosB-cosCsinB，整理可得：2sinAcosA=-（cosCsinB+sinCcosB）=-sin（B+C）=-sinA，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴解得：cosA=-$\frac{1}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵3sinB=4sinC，
∴由正弦定理可得：3b=4c，①
∵S_△ABC=3$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$bc，解得：bc=12，②
∴由①②可解得：b=4，c=3，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{16+9-2×4×3×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{37}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．