题目内容
已知函数f(n)=logn+1(n+2)，(n∈N*)，定义：使f（1）×f（2）×f（3）×…×f（k）为整数的数k（k∈N*）叫作企盼数，则在区间[1，1000]内这样的企盼数共有（ ）个．
| A、7 | B、8 | C、9 | D、10 |
分析：由已知中函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），利用对数运算的性质易得f（1）•f（2）…f（k）=log2（k+2），若其值为整数，则k+2=2n（n∈Z），结合k∈[1，1000]，我们易得到满足条件的数的个数．
解答：解：∵函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log23，
f（2）=log34，
…
f（k）=logk+1（k+2）．
∴f（1）•f（2）…f（k）=log23•log34•…•logk+1（k+2）=log2（k+2）．
若f（1）•f（2）…f（k）为整数，
则k+2=2n（n∈Z），
又∵k∈[1，1000]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}．
∴在区间[1，1000]内这样的企盼数共有8个．
故选：B．
∴f（1）=log23，
f（2）=log34，
…
f（k）=logk+1（k+2）．
∴f（1）•f（2）…f（k）=log23•log34•…•logk+1（k+2）=log2（k+2）．
若f（1）•f（2）…f（k）为整数，
则k+2=2n（n∈Z），
又∵k∈[1，1000]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510}．
∴在区间[1，1000]内这样的企盼数共有8个．
故选：B．
点评：本题考查了对数的运算性质，是新定义题，解答此题的关键是利用对数的换底公式转化，是中档题．
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