题目内容

已知函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0，若f（
π2
）=0，求f（2π）的值．
分析：先对式子中f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）的x、y进行赋值，令x=y=0求出f（0），然后x=y=
π
2
求出f（π），最后令x=y=π，求出f（2π）即可．
解答：解：令x=y=0得f（0）+f（0）=2f（0）×f（0）=2f（0）
而f（0）≠0∴f（0）=1
令x=y=
π
2
得f（π）+f（0）=2f（
π
2
）f（
π
2
）=0
∴f（π）=-1
令x=y=π，得f（2π）+f（0）=2f（π）f（π）=2
∴f（2π）=1
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及赋值法的应用，是高考中常见的题目，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*时，求f（n）的表达式；
（2）设bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．
已知函数f（x） 满足f（x+4）=x3+2，则f-1（1）等于（　　）
已知函数f（x）满足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）当x≥0时，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]时恒成立，求t的取值范围；
（3）设函数h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h（x）在区间[e-m-m，e2m-m]内的零点个数，并作出证明．
已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．
（2012•珠海二模）已知函数f（x）满足：当x≥1时，f（x）=f（x-1）；当x＜1时，f（x）=2x，则f（log27）=（　　）

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