一首项为正数的等差数列{an}中.S5=S13.试问:这个数列前多少项和最大? 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

一首项为正数的等差数列｛a_n｝中，S₅=S₁₃，试问：这个数列前多少项和最大？

试题答案

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思路解析：利用等差数列前n项和公式求出S_n的函数表达式，再求该函数的最大值.

解法一：∵S₅=S₁₃，∴5a₁+×d=13a₁+×d.

整理,得d=-a₁，而a₁＞0，则d＜0.

于是S_n=na₁+d=na₁+×(-a₁)=-n.

∴a₁＞0，-＜0，

∴当n=-=9时，S_n取得最大值.

解法二：由等差数列前n项和S_n=an²+bn知，S_n是关于n的二次函数，且S₅=S₁₃，故二次函数图象的对称轴为n==9，故当n=9时，S_n取最大值.

解法三：令S_n=an²+bn，由S₅=S₁₃得

25a+5b=169a+13b，∴b+18a=0，b=-18a，

又a₁=S₁=a+b＞0，∴-18a+a＞0，a＜0，

故S_n=an²-18an，

而a＜0，所以当n=--18a2·a=9时，S_n最大.

解法四：∵a₁＞0，d＜0，∴S_n有最大值.

若前n项和最大，则应有8.5≤n≤9.5.

故n=9时，S_n最大.

解法五：由S₅=S₁₃知5a₁+×d=13a₁+×d，整理得2a₁+17d=0，

即a₁+8d+a₁+9d=0，也就是a₉+a₁₀=0.

∵a₁＞0，d＜0，∴a₉＞0，a₁₀＜0，所以S₉最大.

深化升华

（1）以上五种解法，前三种都属于求函数S_n的最大值，只不过运用了三种不同的求最值的方法；后二种各有新意，思维独到，应仔细品味.

（2）当等差数列的公差d＜0时，数列是递减数列，若前n项都是正值，则其前n项和有最大值；当等差数列的公差d＞0时，数列是递增数列，若前n项都是负值，则其前n项和有最小值.

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已知a₂₀₁₀与a₂₀₁₁是首项为正数的等差数列{a_n}相邻的两项，且函数y=（x-a₂₀₁₀）（x-a₂₀₁₁）的图象如图所示，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

（08年咸阳市一模）已知首项为正数的等差数列｛a_n｝满足:a₂₀₀₅+a₂₀₀₆>0,a₂₀₀₅_?a₂₀₀₆<0,则使前项S_n>0成立的最大自然数n是 ( )

A. 4009 B.4010 C. 4011 D.4012

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