Question

已知a₂₀₁₀与a₂₀₁₁是首项为正数的等差数列{a_n}相邻的两项，且函数y=（x-a₂₀₁₀）（x-a₂₀₁₁）的图象如图所示，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

A．4017

B．4018

C．4019

D．4020

Answer 1

分析：由题意利用等差数列的性质可得a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，推出 S₄₀₁₉＞0，S₄₀₂₁＜0，再根据图象得a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，可得S₄₀₂₀＜0．从而可得答案．

解答：解：由题意可得：a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，
又S₄₀₁₉=

(a1+a4019)×4019

2

=

2a2010 ×4019

2

=4019×a₂₀₁₀＞0，
根据函数图象的对称轴为x=

a2010+a2011

2

＜0得：a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，
∴S₄₀₂₀＜0．
综上所述，使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是4019．
故选C．

点评：考查等差数列的性质的应用，判断a₂₀₁₀＞0，且a₂₀₁₁＜0，a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=a₁+a₄₀₂₀＜0，是解题的关键，属于难题．