Question

【题目】已知二次函数的对称轴为，．

（1）求函数的最小值及取得最小值时的值；

（2）试确定的取值范围，使至少有一个实根；

（3）当时，，对任意有恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），此时；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由，则，利用基本不等式，即可求解函数的最小值及取得最小值时的值；（2）根据二次函数的性质，可得，使得，即可求解的取值范围；（3）由，恒成立，即，令，则，利用基本不等式求得最值，即可的取值范围．

试题解析：（1）∵，∴，

∴，当且仅当，即时“”成立，即，此时．

（2）的对称轴为，∴，∴，

至少有一实根，∴至少有一实根，

即与的图象在上至少有一个交点，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范围为．

（3）因为，∴ ，

∴，恒成立，∴，

令，，∴，∴，

令，设，为上任意两不等实数，且，

∴,

∵，∴，，∴，

∴在上单调递增，∴，∴，

∴的取值范围为．