Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，，，，，，为线段上一点．

（Ⅰ）求的值，使得平面；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由面面垂直性质得平面，∴，由相似形可得，得平面；（Ⅱ）以为原点，为轴建立如图空间直角坐标系，求平面的一个法向量为，可得二面角的平面角为的余弦值，进而求出正切值.

试题解析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，平面，∴平面平面．

∵，∴平面，∴．

∵，，

∴．

在平面内，当即可满足，此时，平面．

∴，∴，∴，平面．

（Ⅱ）方法一：

在（Ⅰ）的条件下，平面，，

设，则即为二面角的平面角．

中，∴，∴．

中，，

，，

二面角的正切值为．

（Ⅱ）方法二：以为原点，为轴建立如图空间直角坐标系．

．

，．

在（Ⅰ）的条件下，平面，∴平面，．

设平面，，

即，则，

设二面角的平面角为，，

所以二面角的正切值为．