Question

若f（x）为二次函数，-1和3是方程f（x）-x-4=0的两根，f（0）=1；
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-

1

2

，

3

2

]上，不等式xf（x）＞2x+m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意设出f（x）的解析式，代入方程化简，根据韦达定理和条件列出方程组，求出系数即可；
（2）根据（1）将原不等式化简和分离出m后，再构造函数g（x）=x³-x²-x，求出对应的导数，求出导数大于零和小于零的解集，求出函数的单调区间，再求出函数的最值，即求出m的范围．

解答：解：（1）有题意设f（x）=ax²+bx+c，
则f（x）-x-4=0为：ax²+（b-1）x+c-4=0，
∴

-1+3=- b-1 a -1×3= c-4 a

，
又∵f（0）=1，∴c=1，代入上面方程组解得，a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）由（1）得，将不等式xf（x）＞2x+m化为：
m＜x³-x²-x，则此不等式在区间[-

1

2

，

3

2

]上有解，
设g（x）=x³-x²-x，则g′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
∴当x=-

1

3

或1时，g′（x）=0，
当x∈[-

1

3

，1]时，g′（x）＜0，当x∈[1，

3

2

]或[-

1

2

，-

1

3

]时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[-

1

3

，1]上单调递减，在[1，

3

2

]、[-

1

2

，-

1

3

]上单调递增，
∵g（-

1

2

）=

1

8

，g（

3

2

）=-

3

8

，g（-

1

3

）=

5

27

，g（1）=-1，
∴g（x）最小值是-1，最大值是

5

27

，
故m＜

5

27

时不等式xf（x）＞2x+m在区间[-

1

2

，

3

2

]上有解．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，韦达定理应用，以及函数单调性、最值与导数的应用，考查了转化思想和构造函数法．