题目内容
已知f（x）为二次函数且二次项系数大于
，不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2），且方程f（x）+
=0有两个相等的实根，若α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f'（x）是f（x）的导数，设a1=3，an+1=an-
(n∈N*)．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）记bn=lg
(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和．
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
| f(an) |
| f′(an) |
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）记bn=lg
| an-β |
| an-α |
分析：（I）由题意可设f（x）-2x=a（x+1）（x-2），方程f（x）+
=0有两个相等的实根，整理成二次方程后由△=0求得a．从而得出函数解析式f（x）=x2+x-2．
（II）由（Ⅰ），f'（x）=2x+1．由an+1=an-
(n∈N*)．
计算得出an+1=an-
=an-
=
，
an+1-β=
+2=
，从而
bn+1=lg
=lg(
)2=lg(
)2=2lg
=2bn．得出数列{bn}是等比数列，前n项和可求．
| 9 |
| 4 |
（II）由（Ⅰ），f'（x）=2x+1．由an+1=an-
| f(an) |
| f′(an) |
计算得出an+1=an-
| f(an) |
| f′(an) |
| ||
| 2an+1 |
| ||
| 2an+1 |
an+1-β=
| ||
| 2an+1 |
| (an+2)2． |
| 2an+1 |
bn+1=lg
| an+1-β |
| an+1-α |
| an+2 |
| an-1 |
| an-β |
| an-α |
| an-β |
| an-α |
解答：解：（I）由题意可设f（x）-2x=a（x+1）（x-2），
即f（x）=a（x+1）（x-2）+2x．…（2分）∴a(x+1)(x-2)+2x+
=0两个相等的实数根
即ax2+(2-a)x+
-2a=0．
则△=(2-a)2-4a(
-2a)=0，…（4分）
解得a=1，a=
(舍去)．…（5分）
故f（x）=x2+x-2．…（6分）
（II）由（I）得f（x）=0的两根α、β，
则α=1，β=-2．…（7分）
又∴f'（x）=2x+1．…（8分）
则an+1=an-
=an-
=
，
∴an+1-a=
-1=
．…（9分）
同理an+1-β=
+2=
…（10分）
∴bn+1=lg
=lg(
)2=lg(
)2=2lg
=2bn．…（12分）
∴数列{bn}是以b1=lg
=lg
=lg
为首项，2为公比的等比数列，…（13分）
∴b1+b2+…+bn=
=(2n-1)lg
．…（14分）
即f（x）=a（x+1）（x-2）+2x．…（2分）∴a(x+1)(x-2)+2x+
| 9 |
| 4 |
即ax2+(2-a)x+
| 9 |
| 4 |
则△=(2-a)2-4a(
| 9 |
| 4 |
解得a=1，a=
| 4 |
| 9 |
故f（x）=x2+x-2．…（6分）
（II）由（I）得f（x）=0的两根α、β，
则α=1，β=-2．…（7分）
又∴f'（x）=2x+1．…（8分）
则an+1=an-
| f(an) |
| f′(an) |
| ||
| 2an+1 |
| ||
| 2an+1 |
∴an+1-a=
| ||
| 2an+1 |
| (an-1)2 |
| 2an+1 |
同理an+1-β=
| ||
| 2an+1 |
| (an+2)2． |
| 2an+1 |
∴bn+1=lg
| an+1-β |
| an+1-α |
| an+2 |
| an-1 |
| an-β |
| an-α |
| an-β |
| an-α |
∴数列{bn}是以b1=lg
| a1-β |
| a1-α |
| 3+2 |
| 3-1 |
| 5 |
| 2 |
∴b1+b2+…+bn=
lg
| ||
| 1-2 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题是函数与数列的综合题．考查逻辑思维、推理论证，运算求解能力．
练习册系列答案
相关题目