Question

设f（x）为二次函数，且f（1）=1，f（x+1）-f（x）=1-4x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）在实数R上没有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出f（x）=ax²+bx+c，利用待定系数法求得a、b、c的值即可；
（2）可求得g（x）=-2x²+2x-a，g（x）在实数R上没有零点，?△=4-8a＜0，从而可求得a的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（2分）
则f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）-f（x）=1-4x
∴2ax+a+b=1-4x对一切x∈R成立．
∴

2a=-4 a+b=1

（5分）
∴

a=-2 b=3

，
又∵f（1）=1，
∴a+b+c=1，
∴c=0．
∴f（x）=-2x²+3x（8分）
（2）g（x）=f（x）-x-a=-2x²+2x-a，（10分）
函数g（x）在实数R上没有零点，
故△=4-8a＜0，（13分）
解之得a＞

1

2

（15分）

点评：本题考查求解函数解析式及一元二次方程的根的分布与系数的关系，着重考查待定系数法，考查二次函数零点，属于中档题．