题目内容

2．古人是说的好：书中自有黄金屋，书中自有颜如玉，课外阅读对大学生来讲是一种最有效的自主学习方式，某大学对本校大一学生进行了课外阅读现状的调查，从调查中发现大一学生平均每天课外阅读时间的范围是[0，100]（单位：分钟），求所得的平均每天课外阅读时间的数据绘制成平率分布直方图（如图），样本数据分组为[0，20），[20，40），[60，80），[80，100]．
（1）求频率分布直方图中x的值；
（2）从该大学的大一学生中任选4名，这4名学生中平均每天课外阅读时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望（以频率分布直方图中的频率作为概率）．

分析 （1）利用频率分布直方图中概率之和为1的性质能求出x的值．
（2）由已知得X～B（4，0.31），由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得：
（0.003×2+0.0065+x+0.025）×20=1，
解得x=0.0125．
（2）由频率分布直方图及（1）得大一学生平均每天课外阅读时间少于20分钟的概率为0.0155×20=0.31，
∴X～B（4，0.31），
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（0.69）^{4}$=0.22667121，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}×0.31×0.6{9}^{3}$=0.40735116，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}×0.3{1}^{2}×0.6{9}^{2}$=0.27451926，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}×0.3{1}^{3}×0.69$=0.08222316，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}×0.3{1}^{4}$=0.00923521．
∴X的分布列为：

 X 0 1 2 3 4
 P 0.22667121 0.407351160.27451926  0.08222316 0.00923521
EX=4×0.31=1.24．

点评 本题考查频率分布直方图的性质的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．

练习册系列答案
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