Question

14．甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有3个白球1个红球，现从甲袋中连续3次有放回的摸出一球，从乙袋中连续两次有放回的摸出一球．
（1）求从甲袋中恰有一次摸出白球同时在乙袋中恰有一次摸出红球的概率；
（2）求从甲袋中摸出白球的次数与从乙袋中摸出白球的次数之和为2的概率；
（3）设从甲袋中摸出白球的次数为随机变量ξ，求Eξ．

Answer 1

分析 （1）由题意知现从甲袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{2}{3}$，从乙袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{3}{4}$，由此利用n次独立重复试验中事件A恰到好发生k次的概率计算公式能求出从甲袋中恰有一次摸出白球同时在乙袋中恰有一次摸出红球的概率．
（2）从甲袋中摸出白球的次数与从乙袋中摸出白球的次数之和为2的情况有：从甲袋中摸出2次白球，从乙袋摸出0次白球；从甲袋中摸出1次白球，从乙袋摸出1次白球；从甲袋中摸出0次白球，从乙袋摸出2次白球，由此能求出从甲袋中摸出白球的次数与从乙袋中摸出白球的次数之和为2的概率．
（3）由题意得从甲袋中摸出白球的次数ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出Eξ．

解答 解：（1）由题意知现从甲袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{2}{3}$，
从乙袋中有放回的摸出一球，每次摸到白球的概率都是$\frac{3}{4}$，
∴从甲袋中连续3次有放回的摸出一球，从乙袋中连续2次有放回的摸出一球．
从甲袋中恰有一次摸出白球同时在乙袋中恰有一次摸出红球的概率：
p₁=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{2}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）$=$\frac{43}{72}$．
（2）从甲袋中摸出白球的次数与从乙袋中摸出白球的次数之和为2的情况有：
从甲袋中摸出2次白球，从乙袋摸出0次白球；从甲袋中摸出1次白球，从乙袋摸出1次白球；从甲袋中摸出0次白球，从乙袋摸出2次白球，
∴从甲袋中摸出白球的次数与从乙袋中摸出白球的次数之和为2的概率：
p₂=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）{C}_{2}^{0}（\frac{1}{4}）^{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}{C}_{2}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）$+${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}{C}_{2}^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$
=$\frac{25}{144}$．
（3）由题意得从甲袋中摸出白球的次数ξ～B（3，$\frac{2}{3}$），
∴Eξ=3×$\frac{2}{3}=2$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰到好发生k次的概率计算公式和二项分布的数学期望计算公式的合理运用．