Question

如图，一列载着危重病人的火车从O地出发，沿射线OA方向行驶，其中sina=

10

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，在距离O地5a（a为正常数）千米，北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ=

3

5

，现120指挥中心紧急征调离O地正东p千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C处相遇．经计算，当两车行驶的路线与OB所围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．
（1）在以O为原点，正北方向为y轴的直角坐标系中，求射线OA所在的直线方程；
（2）求S关于p的函数关系式S=f（p）；
（3）当p为何值时，抢救最及时？

Answer 1

分析：（1）由其中sina=

10

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，我们根据同角三角函数关系，易求出直线OA的斜率，进而得到OA所在直线的方程．
（2）由在距离O地5a（a为正常数）千米，北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中sinβ=

3

5

，我们可以得到直线BC的参数方程，联立直线OA与BC的方程，可以得到C点的坐标，代入三角形面积公式，即可得到一个S关于p的函数关系式S=f（p）；
（3）由（2）的结论，根据求函数最小值的方法，易得结论．

解答：解：（1）由sina=

10

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得tana=

1

3

，
∴直线OA的方程为y=3x．
（2）设点N（x_o，y_o），则x_o=5asinβ=3a，y_o=5acosβ=4a，
∴N（3a，4a）又B（p，0），∴直线BC的方程为y=

4a

3a-p

(x-p)．
由

y=3x y= 4a 3a-p (x-p)

得C的纵坐标yc=

12ap

3p-5a

(p＞

5

3

a)，
∴三角形OBC面积S=

1

2

|OB|•|yc|=

6ap2

3p-5a

(p＞

5

3

a)．
（3）由（2）知S=

6ap2

3p-5a

=

6a

3 p - 5a p2

=

6a

-5a( 1 p - 3 10a )2+ 9 20a

．
∵p＞

5

3

a，∴0＜

1

p

＜

3

5a

.∴

1

p

=

3

10a

时，Smin=

40

3

a2．
因此，当

10a

3

千米时，抢救最及时．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．