Question

如图，一列载着危重病人的火车从O地出发，沿射线OA方向行驶，其中，在距离O地5a（a为正常数）千米，北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中，现120指挥中心紧急征调离O地正东p千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C处相遇．经计算，当两车行驶的路线与OB所围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时．
（1）在以O为原点，正北方向为y轴的直角坐标系中，求射线OA所在的直线方程；
（2）求S关于p的函数关系式S=f（p）；
（3）当p为何值时，抢救最及时？

Answer 1

解：（1）由得，
∴直线OA的方程为y=3x．
（2）设点N（x_o，y_o），则x_o=5asinβ=3a，y_o=5acosβ=4a，
∴N（3a，4a）又B（p，0），∴直线BC的方程为．
由得C的纵坐标，
∴三角形OBC面积．
（3）由（2）知．
∵，∴∴时，．
因此，当千米时，抢救最及时．
分析：（1）由其中，我们根据同角三角函数关系，易求出直线OA的斜率，进而得到OA所在直线的方程．
（2）由在距离O地5a（a为正常数）千米，北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中，我们可以得到直线BC的参数方程，联立直线OA与BC的方程，可以得到C点的坐标，代入三角形面积公式，即可得到一个S关于p的函数关系式S=f（p）；
（3）由（2）的结论，根据求函数最小值的方法，易得结论．
点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．