Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=

2

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，由题意知

a2 c =4 c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能够求出椭圆C的方程．
（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，因为线段FP的中心为（3，

t

2

），斜率为

t

2

．所以线段FP的垂直平分线方程为y-

t

2

=-

2

t

(x-3)，由此入手能够求出圆M的方程．

解答：解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
则

a2 c =4 c a = 2 2 a2=b2+c2

，
解得a=2

2

，b=2，c=2，
∴所求椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，
线段OF的垂直平分线方程为x=1，①
因为线段FP的中心为（3，

t

2

），斜率为

t

2

．
所以线段FP的垂直平分线方程为y-

t

2

=-

2

t

(x-3)，
即y=-

2

t

x+

5

t

+

t

2

，②
联立①②，解得

x=1 y= t 2 + 4 t

，
即：圆心M（1，

t

2

+

4

t

），
∵t＞0，∴

t

2

+

4

t

≥2

t 2 • 4 t

=2

2

，
当且仅当

t

2

=

4

t

，即t=2

2

时，
圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M（1，2

2

），半径为OM=3，
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-2

2

)2=9．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法和求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．