Question

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F₁F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁•e₂的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF₁=r₁，PF₂=r₂．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e₁•e₂的取值范围是．
解答：解：设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF₁=r₁，PF₂=r₂．
由题意知r₁=10，r₂=2c，且r₁＞r₂，2r₂＞r₁，
∴2c＜10，2c+2c＞10，
⇒＜c＜5．⇒，
∴=；
=．
∴，
故选C．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．