题目内容
已知中心在原点的椭圆C：
+
=1的焦点为F1（0，3），M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为
．
（1）求椭圆C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相较于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程，请说明理由．．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（1）求椭圆C的方程．
（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相较于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程，请说明理由．．
分析：（1）根据椭圆C的焦点为F1（0，3），可得椭圆C的方程为
+
=1，利用M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为
，求出M的坐标代入椭圆C的方程，即可确定椭圆C的方程；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点，
•
=0，即可求得结论．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2+9 |
| 3 |
| 2 |
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程代入椭圆方程，消去y，可得一元二次方程，利用韦达定理，结合以线段AB为直径的圆恰好经过原点，
| OA |
| OB |
解答：解：（1）因为椭圆C的焦点为F1（0，3），∴b2=a2+9，则椭圆C的方程为
+
=1
∵M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为
∴
×3×x=
，∴x=1，∴M（1，4）
代入椭圆C的方程
+
=1，可得
+
=1
∴a4-8a2-9=0
∴a2=9
∴椭圆C的方程为
+
=1；
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程为y=4x+m，代入椭圆方程，消去y，可得18x2+8mx+m2-18=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=
，
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以
•
=0
∴x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+16x1x2+4m（x1+x2）+m2=0
∴17×
-4m×
+m2=0
∴m=±
此时△=64m2-72（m2-18）＞0
∴直线方程为y=4x±
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2+9 |
∵M（x，4）（x＞0）椭圆C上一点，△MOF1的面积为
| 3 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
代入椭圆C的方程
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| a2+9 |
| 1 |
| a2 |
| 16 |
| a2+9 |
∴a4-8a2-9=0
∴a2=9
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 18 |
（2）假设存在符合题意的直线l存在，设直线方程为y=4x+m，代入椭圆方程，消去y，可得18x2+8mx+m2-18=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
| 8m |
| 18 |
| m2-18 |
| 18 |
因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+16x1x2+4m（x1+x2）+m2=0
∴17×
| m2-18 |
| 18 |
| 8m |
| 18 |
∴m=±
| 102 |
此时△=64m2-72（m2-18）＞0
∴直线方程为y=4x±
| 102 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆方程，正确运用韦达定理是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（
，0），直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（ ）
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A、
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B、x2+
| ||||
C、
| ||||
D、
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