Question

已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，

2

），且过点A(1，

2

)，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值．
（3）求三角形ABC的面积最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意得c=

2

，再由由椭圆的定义求出a=2，b=

2

，从而得到椭圆的方程．
（2）设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，写出AB的方程与椭圆联立求出B，C坐标得到SC的斜率化简即可
证明直线BC的斜率为定值．
（3）利用弦长公式求出BC 的长，利用得到直线的距离公式求出A到BC的距离，即可求三角形ABC的面积最大值．

解答：解：（1）由题意可知c=

2

，由椭圆的定义求出a=2，所以b=

2

，所以椭圆的方程为：

x2

2

+

y2

4

=1
（2）由题意得设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k
所以

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

代入得x1+x2=

2k2-2 2 k

2+k2

，
又∵x₁=1∴xB=

k2-2 2 k-2

k2+2

同理xC=

k2+2 2 k-2

k2+2

，kBC=

yB-yC

xB-xC

=

kxB-k+ 2 +kxC-k- 2

xB-xC

=

2

为定值
（3）设BC方程为y=

2

x+m

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

得4x2+2

2

mx+m2-4=0
得|BC|=

3

.

4- 1 2 m2

A到BC的距离为d=

|m|

3

所以S△=

1

2

|BC|•d=

1

2

|m|

4- 1 2 m2

=

1

2

m2(4- 1 2 m2)

=

2

4

m2(8-m2)

≤

2

当m²=8-m²时，即m²=4时“=”成立，此时△＞0成立．

点评：本题是中档题，考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，三角形面积求法，最大值的求法，考查计算能力，转化思想．