题目内容
已知向量
=（4，3），
=（-1，2）．
（1）求
与
的夹角θ（用反余弦的符号表示）；
（2）若
-λ
与2
+
垂直，求实数λ的值．
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
（2）若
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由题意可得
•
，以及它们的模长，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得；（2）可得两向量的坐标，由垂直可得其数量积为0，解此方程可得．
| a |
| b |
解答：解：（1）由题意可得
•
=4×（-1）+3×2=2，
∴|
|=
=5，|
|=
=
，…（3分）
∴cosθ=
=
，故θ=arccos
． …（6分）
（2）∵
-λ
=（4+λ，3-2λ），2
+
=（7，8），
-λ
与2
+
垂直，
∴（
-λ
）•（2
+
）=0，即（4+λ，3-2λ）•（7，8）=0．
∴（4+λ）×7+（3-2λ）×8=0． …（10分）
解得λ=
． …（12分）
| a |
| b |
∴|
| a |
| 42+32 |
| b |
| (-1)2+22 |
| 5 |
∴cosθ=
| ||||
|
|
2
| ||
| 25 |
2
| ||
| 25 |
（2）∵
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（
| a |
| b |
| a |
| b |
∴（4+λ）×7+（3-2λ）×8=0． …（10分）
解得λ=
| 52 |
| 9 |
点评：本题查看平面向量的数量积和夹角的关系，涉及垂直关系的应用，属中档题．
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