Question

如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角A－BD－C、A－BC－D、B－AC－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC． 　　在ΔABD中，∵AB＝AD＝，BD＝2， 　　∴ΔABD是等腰直角三角形，AO⊥BD，同理OC⊥BD． 　　∴∠AOC是二面角A－BD－C的平面角 　　又AO＝OC＝1，AC＝， 　　∴∠AOC＝90°． 　　即二面角A－BD－C为直二面角． 　　(2)∵二面角A－BD－C是直二面角，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD． 　　∴ΔABC在平面BCD内的射影是ΔBOC． 　　∵SΔOCB＝，SΔABC＝，∴cos＝． 　　即二面角A－BC－D的大小是arccos． 　　(3)取AC的中点E，连BE、DE． 　　∵AB＝BC，AD＝DC， 　　∴BD⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED就是二面角的平面角． 　　在ΔBDE中，BE＝DE＝，由余弦定理，得cosα＝－ 　　∴二面角B－AC－D的大小是π－arccos． 　　评析：本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式＝S·cos求得．