Question

【题目】已知函数.

（1）若在处取得极值，求在处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）若函数在上无零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据在处取极值可得，可求得，验证可知满足题意；根据导数的几何意义求得切线斜率，利用点斜式可求得切线方程；（2）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的符号，从而得到的单调性；（3）根据在上无零点可知在上的最大值和最小值符号一致；分别在，两种情况下根据函数的单调性求解最大值和最小值，利用符号一致构造不等式求得结果.

（1）由题意得：

在处取极值 ，解得：

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增

为的极小值点，满足题意 函数

当时，

由得：

在处的切线方程为：，即：

（2）由题意知：函数的定义域为，

①当时

若，恒成立，恒成立

在内单调递减

②当时

由，得：；由得：

在内单调递减，在内单调递增

综上所述：当时，在内单调递减；当时，在内单调递减，在内单调递增

（3）①当时，在上单调递减

在上无零点，且

②当时

（i）若，即，则在上单调递增

由，知符合题意

（ii）若，即，则在上单调递减

在上无零点，且

（iii）若，即，则在上单调递减，在上单调递增

，，

符合题意

综上所述，实数的取值范围是