题目内容

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
3
2
)三点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．
解（Ⅰ）解法一：当椭圆E的焦点在x轴上时，设其方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
则a=2，又点C(1，
3
2
)在椭圆E上，得
1
22
+
9
4b2
=1．解得b2=3．
∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
当椭圆E的焦点在y轴上时，设其方程为
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0），
则b=2，又点C(1，
3
2
)在椭圆E上，得
1
22
+
9
4a2
=1．解得a2=3，这与a＞b矛盾．C(1，
3
2
)
综上可知，椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．                               …（4分）
解法二：设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），
将A（-2，0）、B（2，0）、代入椭圆E的方程，得
4m=1
m+
9
4
n=1.
解得m=
1
4
，n=
1
3
．
∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．                                     …（4分）
（Ⅱ）证法一：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程
x2
4
+
y2
3
=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4(k2-3)
3+4k2
．              …（8分）
直线AM的方程为：y=
y1
x1+2
(x+2)，它与直线x=4的交点坐标为P(4，
6y1
x1+2
)，同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为Q(4，
2y2
x2-2
)．       …（10分）
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等：P
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
∴
6y1
x1+2
-
2y2
x2-2
=
6k(x1-1)(x2-2)-2k(x2-1)(x1+2)
(x1+2)(x2-2)
=
2k[2x1x2-5(x1+x2)+8]
(x1+2)(x2-2)
=
2k[
8(k2-3)
3+4k2
-
40k2
3+4k2
+8]
(x1+2)(x2-2)
=0．
因此结论成立．
综上可知，直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                …（14分）
证法二：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆E的方程
x2
4
+
y2
3
=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4(k2-3)
3+4k2
．              …（8分）
直线AM的方程为：y=
y1
x1+2
(x+2)，即y=
k(x1-1)
x1+2
(x+2)．
直线BN的方程为：y=
y2
x2-2
(x-2)，即y=
k(x2-1)
x2-2
(x-2)．   …（10分）
由直线AM与直线BN的方程消去y，得x=
2(2x1x2-3x1+x2)
x1+3x2-4
=
2[2x1x2-3(x1+x2)+4x2]
(x1+x2)+2x2-4
=
2[
8(k2-3)
3+4k2
-
24k2
3+4k2
+4x2]
8k2
3+4k2
-4+2x2
=
4(-
4k2+6
3+4k2
+x2)
-
4k2+6
3+4k2
+x2
=4．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                         …（14分）
证法三：将直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程
x2
4
+
y2
3
=1并整理，得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，…（6分）
设直线l与椭圆E的交点M（x1，y1），N（x2，y2），
由根与系数的关系，得x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4(k2-3)
3+4k2
．              …（8分）
消去k2得，2x1x2=5（x1+x2）-8．                               …（10分）
直线AM的方程为：y=
y1
x1+2
(x+2)，即y=
k(x1-1)
x1+2
(x+2)．
直线BN的方程为：y=
y2
x2-2
(x-2)，即y=
k(x2-1)
x2-2
(x-2)．     …（12分）
由直线AM与直线BN的方程消去y得，x=
2(2x1x2-3x1+x2)
x1+3x2-4
=
2[5(x1+x2)-8-3x1+x2]
x1+3x2-4
=4．
∴直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．                     …（14分）
练习册系列答案
相关题目
若椭圆
x2
m
+
y2
n
=1(m，n＞0)的离心率为
1
2
，一个焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则椭圆的标准方程为______．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的离心率为
5
3
，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
已知F1，F2分别是椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．
已知A(4，
12
5
)，B(x1，y1)，C(x2，y2)三点在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上，△ABC的重心与此椭圆的右焦点F（3，0）重合
（1）求椭圆方程
（2）求BC的方程．
已知椭圆M：的面积为πab，且M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，
(1)试求椭圆M的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P（1，）为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论。
已知直线l：y=x+
6
，圆O：x2+y2=5，椭圆E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
3
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为
2
-1，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ） 过点M（0，-
1
3
）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

已知是递增数列，且对任意都有恒成立，则实数的取值范围                                                      （    ）

A、(     B、(    C、(     D、(

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网