Question

已知椭圆M：的面积为πab，且M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，
(1)试求椭圆M的方程；
(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C，D两点，点P（1，）为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论。

Answer 1

解：(1)平面区域Ω：是一个矩形区域，如图(1)所示， 依题意及几何概型知识，可得， 故ab=2，因为0＜a≤2，0＜b≤， 所以a=2，b=， 所以椭圆M的方程为。
(2)如图(2)，设直线l的方程为，， 联立直线l的方程与椭圆方程得， 将①代入②得， 化简得，③ 当△＞0，即， 也即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点， 由韦达定理得， 所以， 则 ， 所以k1+k2为定值。