Question

某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x²的乘积成正比；②当时，y＝a³；③，其中t是常数，且t∈(0，2]

(1)设y＝f(x)，求f(x)的表达式及定义域；

(2)求出产品增加值y的最大值及相应的x的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2　　1分 　　∵当时，y＝a3，即　∴k＝8 　　∴f(x)＝8(a－x)·x2　　3分 　　∵ 　　∴函数的定义域是　　5分 　　(2)f(x)＝－24x2＋16ax，令f’(x)＝0，则x＝0(舍)，x＝　　6分 　　当0＜x＜时，(x)＞0，∴f(x)在上是增函数 　　当x＞时，(x)＜0，∴f(x)在上是减函数 　　所以x＝为极大值点　　8分 　　当时，即1≤t≤2，　　10分 　　当时，即0＜t＜1，　　12分 　　综上：当1≤t≤2时，投入万元，最大增加值 　　当0＜t＜1时，投入万元，最大增加值　　13分