题目内容

某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x2成正比；②当x=
a
2
时，y=a3，并且技术改造投入满足
x
2(a-x)
∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．
分析：（1）设出函数解析式，利用当x=
a
2
时，y=a3，并且技术改造投入满足
x
2(a-x)
∈（0，t]，即可确定函数解析式与定义域；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求出产品增加值的最大值及相应x的值．
解答：解：（1）由题意，设y=f（x）=k（a-x）•x2
∵当x=
a
2
时，y=a3，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x2
∵
x
2(a-x)
∈（0，t]，∴x∈（0，
2at
2t+1
]；
（2）f′(x)=-24x2+16ax=-24x(x-
2
3
a)
令f′（x）=0，∴x=
2
3
a
当t∈（1，2]时，
2at
2t+1
≥
2
3
a，
∴x∈(0，
2
3
a)，f′（x）＞0时，函数单调递增；x∈(
2
3
a，
2at
2t+1
)，f′（x）＜0时，函数单调递减，
∴x=
2
3
a时，ymax=
32
27
a3…（10分）
综上1≤t≤2时，投入
2
3
a万元最大增加值
32
27
a3万元 …（12分）
点评：本题的考点是根据实际问题选择函数类型，主要考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x2成正比；②当x=
a
2
时，y=a3，并且技术改造投入满足
x
2(a-x)
∈(0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．则函数y=f（x）表达式为
f（x）=8（a-x）x2
f（x）=8（a-x）x2
，定义域
(0，
2at
2t+1
]
(0，
2at
2t+1
]
．
某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a-x）•x2成正比；②当x=时，y=a3，并且技术改造投入满足∈（0，t]，其中t为常数且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表达式及定义域；
（2）求出产品增加值的最大值及相应x的值．

（本题12分）某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：①与成正比；②当时，，并且技术改造投入满足，其中为常数且。

（1）求表达式及定义域；

（2）求出产品增加值的最大值及相应的值。

 

（本题12分）某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：①与成正比；②当时，，并且技术改造投入满足，其中为常数且。

（1）求表达式及定义域；

（2）求出产品增加值的最大值及相应的值。

 

 

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