Question

定义：已知函数f(x)在[m，n](m<n)上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f(x)在[m，n](m<n)上具有“DK”性质.

(1)判断函数f(x)＝x²－2x＋2在[1,2]上是否具有“DK”性质，说明理由.

(2)若f(x)＝x²－ax＋2在[a，a＋1]上具有“DK”性质，求a的取值范围.

Answer 1

(1)∵f(x)＝x²－2x＋2，x∈[1,2]，

∴f(x)_min＝1≤1，

∴函数f(x)在[1,2]上具有“DK”性质.

(2)f(x)＝x²－ax＋2，x∈[a，a＋1]，其对称轴为x＝.

①当≤a，即a≥0时，函数f(x)_min＝f(a)＝a²－a²＋2＝2.

若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.

②当a<<a＋1，

即－2<a<0时，f(x)_min＝f()＝－＋2.

若函数f(x)具有“DK”性质，则有－＋2≤a总成立，解得a∈.

③当≥a＋1，即a≤－2时，函数f(x)的最小值为f(a＋1)＝a＋3.

若函数f(x)具有“DK”性质，则有a＋3≤a，解得a∈.

综上所述，若f(x)在[a，a＋1]上具有“DK”性质，则a的取值范围为[2，＋∞).