Question

【题目】已知数列满足：①（）；②当（）时，；③当（）时，，记数列的前项和为.

（1）求，，的值；

（2）若，求的最小值；

（3）求证：的充要条件是（）.

Answer 1

【答案】（1），或1，或1；（2）115；（3）证明见解析.

【解析】

（1）先根据题中条件，求出，，，再结合题意，即可得出结果；

（2）先由题意，得到，当时，，由于，所以或，分别求出，，进而可求出结果；

（3）先由，根据题中条件，求出，证明必要性；再由，求出，证明充分性即可.

（1）因，，且是自然数，；

，，且都是自然数；或；

，，且，或．

（2）由题意可得：，当时，

，由于，

所以或，

，，

，，

又，

所以

（3）必要性：若，

则：①

②

①②得：③

由于或或，且或

只有当同时成立时，等式③才成立，

；

充分性：若，由于

所以，

即，，，…，，又

所以对任意的，都有…（I）

另一方面，由，

所以对任意的，都有…（II）

，

由于.