题目内容

已知向量
m
=(sinωx,cosωx),
n
=(cosωx,cosωx)(ω>0)
,设函数f(x)=
m
n
且f(x)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象向下平移
1
2
个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上[0,
4
]
上的取值范围.
分析:(1)由数量积的运算和三角函数的公式可得f(x)=
2
2
sin(2ωx+
π
4
)+
1
2
,由周期可得ω=1,可得f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
,把2x+
π
4
整体放在正弦函数的单调递增区间,解不等式可得;(2)由图象变换的知识可得g(x)=
2
2
sin(x+
π
4
),由x的取值范围结合三角函数的运算可得答案.
解答:解:(1)由题意可得f(x)=
m
n
=sinωxcosωx+cos2ωx
=
1
2
sin2ωx+
1+cos2ωx
2
=
2
2
sin(2ωx+
π
4
)+
1
2

∵函数的周期T=π=
,∴ω=1,
故f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2

由-
π
2
+2kπ
≤2x+
π
4
π
2
+2kπ
,k∈Z
解得-
8
+kπ
≤x≤
π
8
+kπ
,k∈Z
故f(x)的单调递增区间是[-
8
+kπ,
π
8
+kπ],k∈Z
…(6分)
(2)由题意可得f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,
得函数y=
2
2
sin(x+
π
4
)+
1
2
的图象,再向下g(x)=
2
2
sin(x+
π
4
)的图象,
故y=g(x)=
2
2
sin(x+
π
4
)…(9分)
x∈[0,
4
]
,∴x+
π
4
∈[
π
4
.π]
,∴sin(x+
π
4
)∈[0,1]
…(11分)
2
2
sin(x+
π
4
)∈[0,
2
2
]
,即g(x)的取值范围为[0,
2
2
]
.…(12分)
点评:本题考查平面向量数量积的运算,以及正弦函数的单调性和函数图象的变换,属中档题.
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