题目内容
已知向量
=(sinωx,cosωx),
=(cosωx,cosωx)(ω>0),设函数f(x)=
•
且f(x)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象向下平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上[0,
]上的取值范围.
m |
n |
m |
n |
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象向下平移
1 |
2 |
3π |
4 |
分析:(1)由数量积的运算和三角函数的公式可得f(x)=
sin(2ωx+
)+
,由周期可得ω=1,可得f(x)=
sin(2x+
)+
,把2x+
整体放在正弦函数的单调递增区间,解不等式可得;(2)由图象变换的知识可得g(x)=
sin(x+
),由x的取值范围结合三角函数的运算可得答案.
| ||
2 |
π |
4 |
1 |
2 |
| ||
2 |
π |
4 |
1 |
2 |
π |
4 |
| ||
2 |
π |
4 |
解答:解:(1)由题意可得f(x)=
•
=sinωxcosωx+cos2ωx
=
sin2ωx+
=
sin(2ωx+
)+
,
∵函数的周期T=π=
,∴ω=1,
故f(x)=
sin(2x+
)+
,
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ,k∈Z
解得-
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z
故f(x)的单调递增区间是[-
+kπ,
+kπ],k∈Z…(6分)
(2)由题意可得f(x)=
sin(2x+
)+
图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,
得函数y=
sin(x+
)+
的图象,再向下g(x)=
sin(x+
)的图象,
故y=g(x)=
sin(x+
)…(9分)
∵x∈[0,
],∴x+
∈[
.π],∴sin(x+
)∈[0,1]…(11分)
∴
sin(x+
)∈[0,
],即g(x)的取值范围为[0,
].…(12分)
m |
n |
=
1 |
2 |
1+cos2ωx |
2 |
| ||
2 |
π |
4 |
1 |
2 |
∵函数的周期T=π=
2π |
2ω |
故f(x)=
| ||
2 |
π |
4 |
1 |
2 |
由-
π |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
解得-
3π |
8 |
π |
8 |
故f(x)的单调递增区间是[-
3π |
8 |
π |
8 |
(2)由题意可得f(x)=
| ||
2 |
π |
4 |
1 |
2 |
得函数y=
| ||
2 |
π |
4 |
1 |
2 |
| ||
2 |
π |
4 |
故y=g(x)=
| ||
2 |
π |
4 |
∵x∈[0,
3π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
∴
| ||
2 |
π |
4 |
| ||
2 |
| ||
2 |
点评:本题考查平面向量数量积的运算,以及正弦函数的单调性和函数图象的变换,属中档题.
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