题目内容
已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明：数列{lg（1+an）}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（1）证明：数列{lg（1+an）}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析：（1）由点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，则an+1=an2+2an，
即an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2＞0，即
=2（常数），从而得证．
（2）由（1）得知{lg（1+an）}是公比为2且首项为lg（1+a1）=lg3的等比数列，
即可得lg(1+an)=2n-1•lg3=lg32n-1化简得数列{an}的通项公式．
即an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2＞0，即
| lg(1+an+1) |
| lg(1+an) |
（2）由（1）得知{lg（1+an）}是公比为2且首项为lg（1+a1）=lg3的等比数列，
即可得lg(1+an)=2n-1•lg3=lg32n-1化简得数列{an}的通项公式．
解答：解：（1）∵点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，∴an+1=an2+2an，
∴an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2＞0，∴lg（an+1+1）=lg（an+1）2=2lg（an+1）
即：
=2，∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知{lg（1+an）}是公比为2且首项为lg（1+a1）=lg3的等比数列，
∴lg(1+an)=2n-1•lg3=lg32n-1，则an=32n-1-1
∴an+1+1=an2+2an+1=（an+1）2＞0，∴lg（an+1+1）=lg（an+1）2=2lg（an+1）
即：
| lg(1+an+1) |
| lg(1+an) |
（2）由（1）知{lg（1+an）}是公比为2且首项为lg（1+a1）=lg3的等比数列，
∴lg(1+an)=2n-1•lg3=lg32n-1，则an=32n-1-1
点评：此题考查等比数列的证明方法即定义法．定义法关键在于如何构造第n+1项与第n项之间的比值关系，注意其统一性．
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