Question

（1）如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）若点A（2，2）在矩阵M=

.

cosα -sinα sinα cosα

.

对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵；
（3）在极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值；
（4）已知a₁，a₂…a_n都是正数，且a₁•a₂…a_n=1，求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．

Answer 1

分析：（1）证明BT平分∠OBA，即证明∠OBT=∠TBA，利用∠TBA=∠BTO，∠OTB=∠OBT，可得结论；
（2）根据点A（2，2）在矩阵M=

cosα -sinα sinα cosα

对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），建立方程，求得M，再利用M-1=

0 1 -1 0

，可得矩阵M的逆矩阵，或利用矩阵M的行列式，求得矩阵M的逆矩阵；
（3）将圆、直线的极坐标方程化为直角坐标方程方程，求出圆心到直线的距离d=

|-1-7|

2

=4

2

，即可求AB的最小值；
（4）因为a₁是正数，所以2a₁=1+1+a₁≥3

3	a

，同理，2a_j≥1+1+a_j≥3

3	aj

，将上述不等式两边相乘，利用a₁•a₂•…•a_n=1，即可证得结论．

解答：（1）证明：连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP．
因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．（5分）
因为OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，
所以∠OBT=∠TBA，
即BT平分∠OBA．（10分）
（2）解：由题意知，M

2 2

=

-2 2

，即

2cosα-2sinα 2sinα+2cosα

=

-2 2

，
所以

cosα-sinα=-1 sinα+cosα=1

，解得

cosα=0 sinα=1

所以M=

0 -1 1 0

．（5分）
由M-1M=

1 0 0 1

，解得M-1=

0 1 -1 0

．（10分）
另解：矩阵M的行列式|M|=

.

0 1 -1 0

.

=1≠0，所以M-1=

0 1 -1 0

．
（3）解：圆方程为（x+1）²+y²=4，圆心（-1，0），直线方程为x+y-7=0，（5分）
圆心到直线的距离d=

|-1-7|

2

=4

2

，所以（AB）_min=4

2

-2．  （10分）
（4）证明：因为a₁是正数，所以2a₁=1+1+a₁≥3

3	a

，（5分）
同理，2a_j≥1+1+a_j≥3

3	aj

，
将上述不等式两边相乘，得(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n•

3	a1•a2•…•an

，
因为a₁•a₂•…•a_n=1，所以(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．（10分）

点评：本题考查几何证明选讲，考查矩阵与变换，考查极坐标方程，考查不等式的证明，涉及知识点多，综合性强．