Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；

（2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）先求导得到，令，原命题等价于 在内或恒成立，再分两种情况讨论得解；（2）先求出函数的最值，再对分三种情况讨论得解.

（1），

令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，满足或恒成立，

当且仅当时，，时，，

因为，所以当且仅当时，，时，，

因为在内有，当且仅当即时取等号，

所以当时，，，此时在单调递增，

当时，，，此时在单调递减，

综上，的取值范围为或.

（2）因为在上是减函数，

所以时，；时，，即，

①当时，由（1）知在上递减，所以，不合题意，

②当时，由，

由（1）知当时，在上单调递增，

所以，不合题意，

③当时，，，

由题意可得，只需时，，即可，

由（1）知在上是增函数，，

又在上是增函数，则，，

而，，

只需，解得，

综上的取值范围是.