Question

【题目】已知函数，.

（1）若是函数的极值点，求的极小值；

（2）若对任意的实数a，函数在上总有零点，求实数b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）对函数求导，可得，计算可求出的值，进而得到函数的解析式，并判断单调性可求出极小值；

（2）函数在上总有零点，若，可知在上单调递增，可得，即，故在上总有零点的必要条件是，然后分和两种情况，分别证明当时，在上总有零点即可.

（1）由题可得，

因为，所以，解得，

故，，

令，得，解得或，所以在和上单调递增；

令，得，解得，所以在上单调递减.

所以极小值为.

（2）函数在上总有零点，

即在上总有零点.

若，则在上单调递增，则，即.

故在上总有零点的必要条件是.

以下证明：当时，在上总有零点.

①若，由于，

，且在上连续，

故在上必有零点；

②若，，

构造函数，则，显然在上单调递减，在上单调递增，即在上最小值为，

所以在上恒成立，取，则，，

则，

由于，，

故在上必有零点.

综上，实数b的取值范围是.