题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是- $数学公式$ ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设直线l：y=t²-t（其中0＜t＜ $数学公式$ ，t为常数），若直线l与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S₁（t），直线l与f（x）的图象所围成封闭图形的面积是S₂（t），设g（t）=S₁（t）+ $数学公式$ S₂（t），当g（t）取最小值时，求t的值．

解：（1）由二次函数图象的对称性，
可设f（x）=a（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
又f（0）=0，∴a=1，故f（x）=x²-x．
（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），由定积分的几何意义知：
g（t）=S₁（t）+ $\text{[math]}$ S₂（t）
=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx+ $\text{[math]}$ [（t²-t）-（x²-x）]dx
=[（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）-（t²-t）x]|₀^t+[（t²-t）x-（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）] $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ t³+ $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ．

而g′（t）=-4t²+3t- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （8t²-6t+1）=- $\text{[math]}$ （4t-1）（2t-1）．
令g′（t）=0?t= $\text{[math]}$ 或t= $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）．
当t∈（0， $\text{[math]}$ ）时，g′（t）＜0，g（t）递减；
当t∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，g′（t）＞0，g（t）递增；
故当t= $\text{[math]}$ 时，g（t）有最小值．
分析：（1）由“f（0）=f（1）=0”结合二次函数图象的对称性，设f（x）=a（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，再代点求解．
（2）要建立g（t）的模型，由于是曲线所围成的图象，所以用定积分求解，设直线l与f（x）的图象的交点坐标为
（t，t²-t），再由定积分的几何意义S₁（t）=∫₀^t[（x²-x）-（t²-t）]dx， $\text{[math]}$ S₂（t）= $\text{[math]}$ [（t²-t）-（x²-x）]dx，再求和建立g（t）模型求其最值．
点评：本题主要考查二次函数解析式和其图象的应用，这里涉及了曲线所围成的面积，要用定积分解决．