Question

是否存在常数a,b,c使等式1·(n²-1²)+2(n²-2²)+…+n(n²-n²)=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立?证明你的结论.

Answer 1

思路分析:先取n=1,2,3探求a,b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N^*,a,b,c所确定的等式都成立.

解:分别用n=1,2,3代入解方程组

下面用数学归纳法证明.

(1)当n=1时,由上可知等式成立;

(2)假设当n=k时,等式成立,

则当n=k+1时,

左边=1·［(k+1)²-1²］+2［(k+1)²-2²］+…+k［(k+1)²-k²］+(k+1)［(k+1)²-(k+1)²］=1·(k²-1²)+2(k²-2²)+…+k(k²-k²)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)

=k⁴+(-)k²+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=(k+1)⁴-(k+1)².

∴当n=k+1时,等式成立.

由(1)(2)得等式对一切的n∈N^*均成立.