Question

是否存在常数a,b,c使等式1×(n²-1²)+2(n²-2²)+…+n(n²-n²)=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论.

Answer 1

证明：分别用n=1,2,3代入，解方程组

下面用数学归纳法证明

（1）当n=1时，由上可知等式成立；

（2）假设当n=k时，等式成立，

则当n=k+1时，

左=1×［(k+1)²-1²］+2［(k+1)²-2²］+…+k［(k+1)²-k²］+(k+1)［(k+1)²-(k+1)²］

=1×(k²-1²)+2(k²-2²)+…+k(k²-k²)+1×(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)

=k⁴+(-)k²+(2k+1)·=(k+1)⁴-(k+1)².

由（1）（2）知等式对一切的n∈N ₊均成立.