题目内容

若{an}是公差为d≠0的等差数列，通项为an;{bn}是公比为q≠1的等比数列，已知a1=b1=1,且a2=b2,a6=b3.

(1)求d和q.

（2）是否存在常数a,b，使对于一切n∈N+,都有an=logabn+b成立?若存在,求之;不存在,请说明理由.

解：(1)∵a2=1+d=b2=q,                  ①

a6=1+5d=b3=q2,                        ②

联立①②可得q=4,d=3.

(2)假设存在常数a,b满足等式，由

an=1+(n-1)d=3n-2,

bn=qn-1=4n-1及an=logabn+b,

知（3-loga4）n+(loga4-b-2)=0,

∵n∈N+,由恒等式原理

∴a=,b=1.

练习册系列答案
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已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{bn}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x2，且a1=f（d-1），a5=f（2d-1），b1=f（q-2），b3=f（q）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有
c1
b1
+
c2
2b2
+…+
cn
nbn
=an+1成立，求Sn．
已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列
（1）若an=3n+1，是否存在m，n∈N*，有am+am+1=ak？请说明理由；
（2）若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有bm•bm+1=bk，试求a、q满足的充要条件；
（3）若an=2n+1，bn=3n试确定所有的p，使数列{bn}中存在某个连续p项的和式数列中{an}的一项，请证明．
已知函数f（x）=（ x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q-1）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，且对一切自然数n，均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1，求
lim
n→∞
S2n+1
S2n
的值．
已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q（q∈R，q≠1）的等比数列．若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q-1），b3=f（q+1）．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对任意自然数n均有
c1
b1
+
c2
2b2
+
c3
3b3
+…+
cn
nbn
=an+1，求c1+c3+c5+…+c2n-1的值．

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