Question

已知函数f（x）的定义域是R，且满足f(xy)=

f(x)+f(y)

x+y

(x+y≠0)，则（　　）

• A、f（x）=0（x∈R）
• B、f（x）=1（x∈R）
• C、f（x）=-1（x∈R）
• D、f（x）的表达式不确定

Answer 1

分析：由已知中f(xy)=

f(x)+f(y)

x+y

(x+y≠0)恒成立，则y=x，变形后，我们易得函数为奇函数，根据定义在R上的奇函数图象必过原点，我们可得f（0）=0，进而令y=0，代入f(xy)=

f(x)+f(y)

x+y

(x+y≠0)，即可判断f（x）=0恒成立．

解答：解：∵f(xy)=

f(x)+f(y)

x+y

(x+y≠0)，
令y=x，则f(x2)=

2f(x)

2x

=

f(x)

x

即f（x）=x•f（x²）
则f（-x）=-x•f（x²）
即f（x）=-f（x），则函数f（x）为定义在R上的奇函数，
则f（0）=0，
令y=0，则f(0)=

f(x)+f(0)

x+0

=0
即f（x）=0
故选A

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中“凑”的思想是解答抽象函数类问题的关键，如本题中令y=x，是证明函数奇偶性的关键，令y=0，就是求函数解析式的关键．