Question

已知函数f（x）=x³-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用函数存在极值即得f'（x）=0有解，注意进行验证．
（2）根据导数的几何意义求出切线方程，根据切线方程有两条，即可证明．求出切点，利用点到直线的距离公式求三角形的面积即可．

解答：解：（1）函数f（x）的导数为f'（x）=3x²-a，若函数存在极值点，
则f'（x）=3x²-a=0有解，即a=3x²，
∴a≥0，
当a=0时，f'（x）=3x²-a=3x²≥0，此时函数f（x）单调递增，无极值，
∴a＞0．
（2）（ⅰ）过点P（1，0）作曲线的切线，设切点（x₀，f（x₀）），
则切线方程为：y-f(x0)=(3

x

2 0

-a)(x-x0)，
将P（1，0））代入得：-f(x0)=(3

x

2 0

-a)(1-x0)，
即2

x

3 0

-3

x

2 0

+a-b=0，（*），
由条件知切线恰有两条，
∴方程（*）恰有两根．
令u（x）=2x³-3x²+a-b，
则u′（x）=6x²-6x=6x（x-1），
则函数u（x）有两个极值点x=0与x=1，
于是u（0）=0或u（1）=0
当u（0）=0时，a=b成立．
当u（1）=0时，a-b=1，此时f（x）=x³-ax+a-1=（x-1）（x²+x+1-a）经过P（1，0）与条件P在曲线外不符合，
∴a=b．
（ⅱ）当a=b时，2

x

3 0

-3

x

2 0

+a-b=0，（*），
等价为

x

2 0

(2x0-3)=0，解得x₀=0或x0=

3

2

，
此时f（0）=b=a，即A（0，a），
f（

3

2

）=

27

8

-

a

2

，即B（

3

2

，

27

8

-

a

2

）．
则AP的方程为

x

1

+

y

a

=1，即ax+y-a=0，
则|AP|=

a2+1

，
点B到直线ax+y-a=0的距离d=

| 3 2 a+ 27 8 - a 2 -a|

a2+1

=

27 8

a2+1

，
∴△PAB的面积的面积为S=

1

2

|AP|•d=

1

2

×

a2+1

•

27 8

a2+1

=

1

2

×

27

8

=

27

16

为定值．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，综合性强，运算量较大，难度较大．