题目内容

(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x,其图象记为曲线C.
(i)求函数f(x)的单调区间;
(ii)证明:若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2(x2,f(x2))处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积记为S1,S2.则
S1S2
为定值;
(Ⅱ)对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题,并予以证明.
分析:(Ⅰ)(i)先求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0解得的区间为增区间和fˊ(x)<0解得的区间为减区间,注意单调区间不能并;
(ii)先求出点P1与点P2的横坐标的关系,再求定积分求出围成封闭图形的面积S1,利用同样的方法求出面积S2即可.
(Ⅱ)根据类似(Ⅰ)的命题方法进行求解,可知曲线C′与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2)),再求出P3,从而进行求解;
解答:解:(Ⅰ)(i)由f(x)=x3-x得f′(x)=3x2-1=3(x-
3
3
)(x+
3
3
),
当x∈(-∞,-
3
3
)和(
3
3
,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-
3
3
3
3
)时,f′(x)<0,
因此,f(x)的单调递增区间为(-∞,-
3
3
)和(
3
3
,+∞),单调递减区间为(-
3
3
3
3
);
(ii)曲线C与其在点P1处的切线方程为y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1,即
即y=(3x12-1)x-2x13,由
y=(3
x
3
1
-1)x-
2x
3
1
y=x3-1

解得x=x1或x=-2x1故x2=-2x1
进而有S1=|
-x1
x1
(x3-3x13x+2x13)dx|=
27
4
x
4
1
,用x2代替x1,重复上述计算过程,可得
x3=-2x2和S2=
27
4
x
4
2
,∴
S1
S2
=
1
16
;图形
(Ⅱ)类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题为:
若对于任意不等于-
b
3a
的实数x1,曲线C′与其在点P1(x1,g(x1))处的切线交于另一点P2(x2,g(x2)),
曲线C′与其在点P2(x1,g(x1))处的切线交于另一点P3(x3,g(x1)),线段P1P2、P2P3与曲线C′所围成封闭
图形的面积分别记为S1,S2,则
S1
S2
为定值;
证明如下:
因为平移变换不改变面积的大小,
故可将曲线y=g(x)的对称中心(-
b
3a
,g(-
b
3a
))
平移至坐标原点,因而不妨设g(x)=ax3+hx,且x1≠0,类似(Ⅰ)(ii)的计算可得:S1=
27
4
a
2
1
,S2=
27×16
4
a
2
1
≠0
,故
S1
S2
=
1
16
点评:本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想.
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