Question

【题目】某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口.

（1）若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；

（2）若四根木条总长为，求窗口面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）长度与面积关系问题，可以考虑利用解不等式求范围，先根据直线与圆位置关系得弦长与圆心到直线距离（即正方形边长一半）关系，再根据面积大于得一根木条长范围，注意四根木条将圆分成9个区域的隐含条件：（2）思路为长度一定，求面积最值，可以考虑利用基本不等式求最值，设所在木条长为，所在木条长为，则，而圆中垂径定理得，因此

试题解析：解（1）设一根木条长为，则正方形的边长为

因为，所以，即

又因为四根木条将圆分成9个区域，所以

所以;

（2）（方法一）设所在木条长为，则所在木条长为

因为，所以

设，

令，得，或（舍去），或（舍去）

列表如下：

	+	0	-
		极大值

所以当时，，即

（方法二）设所在木条长为，所在木条长为

由条件，，即

因为，所以，从而

由于，

因为

当且仅当时，

答：窗口面积的最大值为