Question

【题目】如图，四棱锥中，底面 ABCD为矩形，侧面为正三角形，且平面平面 E 为 PD 中点，AD=2.

(1)证明平面AEC丄平面PCD;

(2)若二面角的平面角满足，求四棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

(1)要证平面平面，可证平面即可;

(2)建立空间直角坐标系，计算出平面的法向量，平面的法向量，从而利用向量数量积公式求得长度，于是可求得体积.

（1）取中点为， 中点为F，

由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，

又，则平面，所以，

又，则，又是中点，则，

由线面垂直的判定定理知平面，

又平面，故平面平面.

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，

令，则.

由（1）知为平面的法向量，

令为平面的法向量，

由于均与垂直，故即解得

故，由，解得.

故四棱锥的体积.