题目内容
【题目】已知焦距为2
的椭圆
：
的右顶点为
，直线
与椭圆交于
、
两点（在的左边），在
轴上的射影为
，且四边形
是平行四边形．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为
的直线
与椭圆交于两个不同的点
，
．
（i）若直线过原点且与坐标轴不重合，
是直线
上一点，且
是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值；
（ii）若是椭圆的左顶点，
是直线
上一点，且
，点
是轴上异于点的点，且以
为直径的圆恒过直线
和
的交点，求证：点是定点．
【答案】（1）
（2）（i）
或
； （ii）证明见解析
【解析】
（1）求出
两点坐标，四边形
是平行四边形，即得
，结合
可解得
；
（2）(i) 设直线方程为
，求出
坐标，设
，由等腰直角三角形，有
，
到直线的距离为
，根据关系式
可求得
；
(ii)设直线
方程为
，求出
点坐标，又求得
点坐标，以
为直径的圆恒过直线
和
的交点，则
，设
，由斜率乘积为-1可得
．
解：（1）由题意可得
，即，
直线
代入椭圆方程可得
，
解得
，
可得
，
由四边形是平行四边形，
可得
，
∴
，
解得
，
可得椭圆的方程为；
（2）（i）由题意，直线方程为，代入椭圆方程，可得
，
解得
，
可设
，
由
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，
可设，到直线
的距离为
，
即有
，
，
即为
，
，
由
，代入第二式，化简整理可得
，
解得或；
（ii）证明：由
，可得直线的方程是，
代入椭圆方程可得，
，
可得
，
解得
，
，
即
，
设，
，由题意可得
，
，
以为直径的圆恒过直线和的交点，
可得，
即有
，
即为
，
解得
．
故点
是定点，即为原点
．
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