Question

在平面直角坐标系中,已知,直线, 动点到的距离是它到定直线距离的倍. 设动点的轨迹曲线为. 

（1）求曲线的轨迹方程.

（2）设点, 若直线为曲线的任意一条切线,且点、到的距离分别为,试判断是否为常数,请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）是常数

【解析】

试题分析：解: （1）由题意,设点,则有,点到直线的距离,故,化简后得:  .

故动点的轨迹方程为 

（2） 是常数,证明如下:

若切线斜率不存在,则切线方程为,此时

当切线斜率存在时,设切线:,代入,整理得:

,化简得:

又由:, ,

=常数.

综上,故对任意切线,是常数

考点：双曲线的方程

点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式：（）。